arctanx的積分
函數 \(\arctan(x)\) 的不定積分可以通過積分的部分積分法來計算。部分積分法的公式是：
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
對于 \(\arctan(x)\) 的積分，我們可以選擇 \(u = \arctan(x)\) 和 \(dv = dx\)。接下來，我們需要計算 \(du\) 和 \(v\)：
- \(du = \frac{1}{1+x^2} \, dx\)（因為 \(\frac6xgcguzzu{dx}(\arctan(x)) = \frac{1}{1+x^2}\)）
- \(v = \int dx = x\)
現在，我們可以應用部分積分法：
\[
\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx
\]
接下來，我們需要計算 \(\int \frac{x}{1+x^2} \, dx\)。這個積分可以通過長除法或者通過識別它是一個簡單的對數函數的變體來解決：
\[
\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln |1+x^2| + C
\]
最終的積分結果是：
\[
\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln |1+x^2| + C
\]
其中 \(C\) 是積分常數。
∫arctanxdx的詳解
積分 \(\int \arctan x \, dx\) 是一個常見的不定積分問題。我們可以通過部分積分法來求解它。部分積分法的公式是：
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
對于 \(\int \arctan x \, dx\)，我們可以選擇 \(u = \arctan x\) 和 \(dv = dx\)。接下來，我們需要計算 \(du\) 和 \(v\)：
1. \(u = \arctan x\)，所以 \(du = \frac{1}{1+x^2} dx\)。
2. \(dv = dx\)，所以 \(v = x\)。
現在我們可以應用部分積分法：
\[
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx
\]
接下來，我們需要計算 \(\int \frac{x}{1+x^2} \, dx\)。這個積分可以通過長除法或者識別它是一個簡單的有理函數來解決。這個積分的結果是：
\[
\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln |1+x^2|
\]
原積分可以寫為：
\[
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln |1+x^2| + C
\]
其中 \(C\) 是積分常數。這就是 \(\int \arctan x \, dx\) 的詳解。
∫arctantdt等于什么
積分 \(\int \arctan(t) \, dt\) 可以通過部分積分法來計算。設 \(u = \arctan(t)\) 并且 \(dv = dt\)，則 \(du = \frac{1}{1+t^2} \, dt\) 并且 \(v = t\)。應用部分積分法：
\[
\int \arctan(t) \, dt = t \arctan(t) - \int \frac{t}{1+t^2} \, dt
\]
接下來，我們計算 \(\int \frac{t}{1+t^2} \, dt\)。這個積分可以通過長除法或者識別它為 \(\frac{1}{2} \ln(1+t^2)\) 的導數來解決。我們有：
\[
\int \frac{t}{1+t^2} \, dt = \frac{1}{2} \ln(1+t^2) + C
\]
其中 \(C\) 是積分常數。將這個結果代入上面的部分積分公式中，我們得到：
\[
\int \arctan(t) \, dt = t \arctan(t) - \frac{1}{2} \ln(1+t^2) + C
\]
這就是 \(\int \arctan(t) \, dt\) 的積分結果。
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